« Математические задачи» (5-9 классы ).
Автор:
Сампилова Н.Ц., учитель математики


Пояснительная записка.
"Многому я научился у своих наставников,
еще большему – у своих товарищей,
но больше всего – у своих учеников".
Талмуд

Данный курс имеет общеобразовательный характер, играет большую роль в развитии логического мышления учащихся. Курс состоит из двенадцати тем. Темы занятий независимы друг от друга и могут изучаться в любом порядке. Изучаемый материал примыкает к основному курсу, дополняя его материалами занимательного характера при минимальном расширении теоретического материала. Сложность задач нарастает постепенно. Задачи каждой темы анализируются и для них указываются способы решения, которые иллюстрируются примерами. При этом в каждом разделе дается несколько задач, предназначенных для самостоятельного решения. В программу курса включается приложение «Психологическая минутка». Темы приложения не имеют непосредственного отношения к основному курсу и носят преимущественно характер математических развлечений направленных на развитие памяти, внимания, восприятия. Данный курс рассчитан на 34 часа. При желании или необходимости количество часов можно увеличить, дополнив изучаемый материал дополнительными задачами. Занятия лучше проводить последовательно 1 раз в неделю. Продолжительность одного занятия – не менее 40 минут. Желательно использовать красочные таблицы, схемы, раздаточный материал. В ходе изучения материала данного курса целесообразно сочетать такие формы организации учебной работы, как практикумы по решению задач, частично-поисковую деятельность. Развитию математического интереса способствуют математические игры (дидактическая, ролевая), викторины, головоломки. Необходимо использовать элементы исследовательской деятельности.
Цель: повышение уровня математической культуры учащихся.
Задачи:
? расширить рамки школьной программы;
? сформировать высокий уровень активности, раскованности мышления,
? развивать интерес к математике;
? способствовать развитию логического мышления, памяти.
Ожидаемый результат:
? развитие интереса к математике;
? углубление материала основного курса,
? расширение кругозора; развитие логического мышления.

Инструментарии для оценивания результатов:
? участие в олимпиадах;
? тестирование;
? творческие работы;
? участие в математических вечерах;
? участие в конкурсах и конференциях.


занятия Содержание учебного материала Кол-во
часов
1 Вводное занятие: «Математическая шкатулка» (как помогает в жизни умение решать логические задачи; математические игры). 1
2-3 «Переправа, переправа. Берег левый, берег правый» (логические задачи о переправах). 2
4-5 «Сообрази и посчитай» (задачи, требующие небольших логических рассуждений с последующим арифметическим просчетом). 2
6-7 «Волшебное зеркало мага» (обобщение известной задачи о колпаках). 2
8-9 «Где же правда?» (задачи о лгунах). 2
10-12 «Графы, множества» (решение задач с помощью таблиц и графиков). 3
13-14 «Упорядочим множество – решим задачу» (класс логических задач, в которых решение сводится к упорядочению некоторых множеств). 2
15-16 «Можно ли обыграть противника?» (игровые логические задачи). 2
17-18 «Определите победителя турнира» (турнирные задачи). 2
19-20 Числовые ребусы. 2
21-22 Составление кроссвордов. 2
23-24 Задачи на разрезание. 2
25-29 «Проценты на все случаи жизни» (решение задач на проценты). 5
30-33 Геометрические задачи. 4
34 Итоговое занятие. 1


ЛИТЕРАТУРА

1. А.П. Савин Занимательные математические задачи «АСТ» Москва, 1995

2. И.Н. Петрова Проценты на все случаи жизни. Челябинск, 1996

3. Л.М. Лихтарников Занимательные логические задачи. «МИК»
С.-Петербург, 1996

4. Л.М. Лихтарников Числовые ребусы, способы их решения. «МИК»
С.-Петербург,1996

5. М. Гарднер Математические чудеса и тайны. «Наука» Москва, 1986

6. М.Ю. Шуба Занимательные задания в обучении математике «Просв.» Москва, 1995

7. Рабочая тетрадь для 5 кл. «Геометрия. Анализ данных. Доли» «Просв.» Москва, 1994

8. http://www.math.ru/ – Сайт «Математика» для математиков, учителей математики и просто интересующихся. Особого внимания заслуживают библиотека (архивы специальных журналов и книг) и база данных методических материалов.
9. http://urokmatem.ru/ – «Учителю математики». Интересные и полезные материалы в помощь учителю математики.
10. http://www.it-n.ru/ – Сеть творческих учителей. Методическая помощь и поддержка, обмен опытом, повышение педагогического и методического мастерства в Сообществах учителей физики, математики, химии, географии, биологии и информатики.
11. http://cheba64.narod.ru/index.html – Сайт учителя математики Ф. М. Чеботаревой (тематическое и поурочное планирование изучения учебного материала, документы, внеклассная работа).
12. http://www.matmir.narod.ru/ – Сайт учителя математики Елены Евгеньевны Алексеевой (методобеспечение, программы, рекомендации и консультации).
13. http://olimpiada.ru – Олимпиады для школьников (физика, химия, математика).
14. http://www.desc.ru/show.html?id=614 – Интернет-карусель: on-line соревнование по математике, физике, географии.
15. http://olimpiada.ru/sectionpub.php?page=101 – Интернет-олимпиады и дистанционная подготовка.
16. http://rostest.runnet.ru/index.html – Образовательный сервер тестирования (математика, физика, биология, информатика, химия).
17. http://www.kokch.kts.ru/cdo/index.htm – On-line тестирование с 5 по 11 кл. по всем предметам.
18. http://zaba.ru/ – Математические олимпиады и олимпиадные задачи.
19. http://www.kenguru.sp.ru/ – Российская страница международного математического конкурса «Кенгуру».
20. http://ege.edu.ru – Официальный информационный портал ЕГЭ.
21. www.ege.ru – Сайт информационной поддержки ЕГЭ в компьютерной форме.
22. www.rustest.ru – ФГУ «Федеральный центр тестирования».
23. http://www.uztest.ru – ЕГЭ. Математика.
24. http://1september.ru/ – Издательский дом «1 сентября». Электронные версии газеты
«Математика»

 

Дидактический материал.

1. ЗАДАЧИ «НА ЧАСТИ»
Задачи 47–58 — это задачи «на части». В первых из них речь о частях идет в явном виде. При их решении создается основа для решения задач 54–58 на нахождение двух чисел по их отношению и сумме (разности). Учащиеся должны научиться принимать подходящую величину за 1 часть, определять, сколько таких частей приходится на другую величину, на их сумму (разность).
47. Для варенья на 2 части малины берут 3 части сахара.
1) Сколько килограммов сахара следует взять на 2 кг 600 г ягод?
2) Сколько килограммов малины было у мамы, если для варки варенья она приготовила 4 кг 500 г сахара?
48. При пайке изделий из жести применяют сплав, содержащий 2 части свинца и 5 частей олова.
1) Сколько граммов свинца и олова в отдельности содержится в 350 г сплава?
2) Сколько граммов свинца и олова в отдельности содержит кусок сплава, в котором олова на 360 г больше, чем свинца?
49. При помоле ржи на каждые три части муки получается одна часть отходов. Сколько центнеров ржи смололи, если муки получилось на 36 ц больше, чем отходов?
50. а) Купили 1800 г сухофруктов. Яблоки составляют 4 части, груши — 3 части и сливы — 2 части массы сухофруктов. Сколько граммов яблок, груш и слив в отдельности купили?
б) Яблоки составляют 7 частей, груши — 4 части, а сливы 5 частей массы сухофруктов. Сколько граммов яблок, груш и слив в отдельности содержится в 1600 г сухофруктов?
51.* Для компота взяли 6 частей яблок, 5 частей груш и 3 части слив. Оказалось, что груш и слив вместе взяли 2 кг 400 г. Определите массу взятых яблок; массу всех фруктов.
52.* 1) При изготовлении кофейного напитка «Ячменный» на 4 части ячменя берут 1 часть цикория. Сколько пачек напитка изготовлено, если каждая пачка весит 250 г, и на изготовление партии напитка израсходовано ячменя на 36 кг больше, чем цикория?
2) При изготовлении кофейного напитка «Наша марка» на 7 частей кофе берут 6 частей цикория, 5 частей желудей и 2 части каштанов. Сколько пачек напитка изготовлено, если каждая пачка весит 200 г, а кофе и цикория вместе израсходовали 26 кг?
53.о 1) Сплав содержит 1 часть свинца и 2 части олова. Во сколько раз в этом сплаве олова больше, чем свинца?
2) Сплав содержит олова в 3 раза больше, чем свинца. Сколько частей олова приходится на 1 часть свинца?
54. 1) Купили 60 тетрадей, причем тетрадей в клетку было в 2 раза больше, чем тетрадей в линейку. Сколько частей приходится на тетради в линейку; на тетради в клетку; на все тетради? Сколько купили тетрадей в линейку? Сколько в клетку (рис. 1)?
2) На первой полке стояло в 3 раза больше книг, чем на второй. На двух полках вместе стояло 120 книг. Сколько книг стояло на каждой полке?
в клетку
в линейку

Рис. 1
При решении задачи 54 (1) лучше опираться на схематический рисунок 1, легко воспроизводимый в тетради и дополняемый по ходу решения нужными записями.
Рассмотрим решение этой задачи «с пояснениями».
Пусть тетради в линейку составляют 1 часть, тогда тетради в клетку составляют 2 части.
1) 1 + 2 = 3 (части) — приходится на все тетради;
2) 60:3 = 20 (тетр.) — приходится на 1 часть;
3) 20?2 = 40 (тетр.) — приходится на 2 части (тетрадей в клетку).
С целью развития мышления и речи школьников советуем иногда давать им задание решить задачу «с вопросами». Для задачи 54 (2) такое решение имеет вид:
1) Сколько частей приходится на все книги?
1 + 3 = 4 (части)
2) Сколько книг приходится на 1 часть (стояло на II полке)?
120:4 = 30 (книг)
3) Сколько книг стояло на I полке?
30•3 = 90 (книг).
55. а) За рубашку и галстук папа заплатил 40 р. Рубашка дороже галстука в 4 раза. Сколько стоит галстук?
б) В плацкартном вагоне в 3 раза больше спальных мест, чем в мягком вагоне. Всего в плацкартном и мягком вагонах 72 спальных места. Сколько спальных мест в мягком вагоне?
56. 1) Календарь дороже общей тетради в 2 раза, а вместе они стоят 9 р. Сколько стоит календарь?
2) Мальчик и девочка рвали в лесу орехи. Всего они сорвали 120 штук. Девочка сорвала в два раза меньше мальчика. Сколько орехов было у мальчика и девочки в отдельности?
3) Девочка прочитала в 3 раза меньше страниц, чем ей осталось прочитать. Всего в книге 176 страниц. Сколько страниц прочитала девочка?
Задача 56 (2) взята из повести Н. Носова «Витя Малеев в школе и дома», дающей довольно точное описание характерных ошибок учащихся и самой процедуры поиска решения.
«Прочитал я задачу и даже смех разобрал. «Вот так задача! — думаю. — Чего тут не понимать? Ясно. 120 надо поделить на 2, получится 60. Значит, девочка сорвала 60 орехов. Теперь нужно узнать, сколько мальчик: 120 отнять 60, тоже будет 60. Только как же это так? Получается, что они сорвали поровну, а в задачнике сказано, что девочка сорвала в 2 раза меньше орехов. Ага! — думаю. — Значит, 60 надо поделить на 2, получится 30. Значит, мальчик сорвал 60, а девочка 30 орехов». Посмотрел в ответ; а там: мальчик 80, а девочка 40».
Витя смог решить задачу лишь тогда, когда нарисовал девочку в переднике с одним карманом, а мальчика в курточке с двумя карманами.
«Все 120 орехов теперь лежали у них в трех карманах: в двух карманах у мальчика и в одном кармане у девочки, а всего, значит, в трех. И вдруг у меня в голове, будто молния, блеснула мысль: «Все 120 орехов надо делить на три части!»
Надо сказать, что первое действие, к которому с таким трудом пришел Витя Малеев, вызывает большие трудности у учащихся, этот шаг решения задач «на части» требует специальной отработки, которая будет тем успешнее, чем активнее учащиеся опираются на наглядные образы.
57. а) Ученик купил тетрадей в клетку в 3 раза больше, чем тетрадeй в линейку. Причем их было на 18 больше, чем тетрадeй в линейку. Сколько всего тетрадей купил ученик?
б) На первой полке стояло в 4 раза больше книг, чем на второй. Это на 12 книг больше, чем на второй полке. Сколько книг стояло на каждой полке?
58. а) Девочка прочитала в 3 раза больше страниц, чем ей осталось прочитать. Она прочитала на 78 страниц больше, чем ей осталось прочитать. Сколько страниц прочитала девочка?
б) Книга дороже общей тетради в 3 раза или на 6 р. Сколько стоит книга?
59. Задача С.А. Рачинского. Я провел год в деревне, в Москве и в дороге — и притом в Москве в 8 раз более времени, чем в дороге, а в деревне в 8 раз более, чем в Москве. Сколько дней провел я в дороге, в Москве и в деревне?

2. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
В этот раздел включено небольшое число задач, в решении которых используются десятичные дроби. Мы предполагаем, что их решение позволит учащимся закрепить второй способ нахождения части числа и числа по его части (соответственно умножением и делением на дробь) и подготовиться к решению задач на проценты.
222. 1) Вася сказал, что у них в классе 35 учащихся и девочки составляют 2/3 всех учащихся. Папа заметил, что такого не может быть. Почему?
2) Известно, что 8/15 класса учатся на «4» и «5». Сколько учащихся может быть в классе?
3) Известно, что 3/5 класса девочки и 1/7 из них отличницы. Сколько учащихся в классе?
4) Известно, что 1/8 класса отличники, а 3/5 класса — девочки. Сколько учащихся в классе?
223. Старинная задача. Мастер сплавил 3 куска серебра в 1/4 фунта, в 1/6 фунта и в 1/8 фунта, сделал из него ложки и продал их. Сколько получил он денег, если фунт серебра ценил в 24 р., да за работу взял 8 р.?
224. 1) Ставка учителя математики составляет 18 уроков в неделю. Какую часть ставки имеет учитель, ведущий: 18 уроков? 24 урока? 27 уроков в неделю?
2) У преподавателя музыки обучаются игре на фортепиано четверо старших и семеро младших школьников. Какую часть ставки имеет преподаватель музыки, если на ставку у него должно быть 9 старших или 12 младших школьников?
225. 1) Книга и тетради стоят 12 р. Стоимость тетрадей составила 0,4 стоимости всей покупки. Сколько стоят тетради?
2) Конфеты и печенье стоят 70 р. Стоимость конфет составила 0,3 стоимости всей покупки. Сколько стоят конфеты?
226. 1) Папе 40 лет. Возраст сына составляет 0,3 возраста отца. Сколько лет сыну?
2) Бабушке 60 лет. Возраст мамы составляет 0,6 возраста бабушки. На сколько лет бабушка старше мамы?
227. 1) В книге 300 страниц. Прочитали 0,6 всей книги. Сколько страниц осталось прочитать?
2) В коллекции было 200 марок. За год их число увеличилось на 0,2 первоначального числа. Сколько марок стало в коллекции?
228. 1) Бригада заасфальтировала 10 км шоссе, что составило 0,2 всего расстояния между двумя городами. Определите это расстояние.
2) Туристы прошли пешком 8 км, что составило 0,4 длины всего маршрута. Какова длина маршрута?
229. а) Найдите 0,6 числа 240.
б) Найдите 0,7 числа 280.
230. а) Найдите число, 0,6 которого равны 240.
б) Найдите число, 0,7 которого равны 280.
231. 1) В магазин привезли 600 роз и гвоздик. Число роз составило 0,4 числа всех цветков. Сколько гвоздик привезли в магазин?
2) Потратили 0,2 от 540 р. Сколько рублей осталось?
3) Потратили 0,3 имевшейся суммы денег, осталось 210 р. Сколько денег было первоначально?
232. 1) В коллекции было 240 значков. За год их число увеличилось на 0,3 первоначального числа. Сколько теперь значков в коллекции?
2) В банк положили 400 р. За год вклад увеличится на 0,3 этой суммы. Какой станет сумма вклада через год?
3) Увеличьте число 810 на 0,5 этого числа.
233. 1) За 1/4 и 1/5 м ленты заплатили 18 р. Сколько стоит 1 м ленты?
2) За 1/2 м тесьмы заплатили на 6 р. больше, чем за 1/5 м такой же тесьмы. Сколько стоит 1 м тесьмы?
3) Старинная задача. За 11 копеек куплены одна пятириковая (в 1/5 фунта) и одна шестириковая (в 1/6 фунта) стеариновые
свечи. Сколько стоит фунт стеариновых свечей?
234.* У Саши на дне рождения было 5 друзей. Первому он отрезал 1/6 часть пирога, второму 1/5 остатка, третьему 1/4 того, что осталось, четвертому 1/3 нового остатка. Последний кусок Саша разделил пополам с пятым другом. Кому достался самый большой кусок?
Заметим, что при решении задачи 234 школьники чаще всего начинают с обозначения всего пирога через х (или через 1) и пускаются в долгие вычисления. Если ваши учащиеся поступят так же, не надо мешать им в полезном упражнении, результат которого легко проверить с помощью рис. 7. Пусть пирог разделен на 6 равных частей. Первому дали 1/6 пирога — 1 кусок, осталось 5 кусков; второму дали 1/5 от этих 5 кусков, то есть такой же кусок и т. д. В результате все получили поровну. Здесь надо подчеркнуть, что поиску решения задачи часто помогает схематический рисунок.
235.* 1) В нашем классе есть певцы и танцоры. Известно, что 1/5 всех певцов еще и танцует, а 1/4 танцоров еще и поет. Кого у нас в классе больше: певцов или танцоров?
2) В делегации иностранных гостей 1/6 говорящих по-английски говорит и по-немецки, а 1/5 говорящих и по-немецки говорит и по-английски. Кого в делегации больше: говорящих по-немецки, или говорящих по-английски?
3) В делегации иностранных гостей 1/8 англичан знала немецкий язык, а 1/7 немцев знала английский язык. Кого в делегации больше: немцев или англичан? Можно ли ответить на этот вопрос?
Решению задачи 235 (1) существенно поможет рис. 8, а вот с задачей 235 (3) труднее. Здесь 1/8 англичан и 1/7 немцев — это не одна и та же группа людей. Поэтому ответить на поставленный вопрос нельзя. Условию задачи могут удовлетворять различные количества англичан и немцев.

236. Легковая машина может проехать расстояние между двумя городами за 31/3 ч, а грузовая — за 5 ч. Машины выехали из этих городов одновременно навстречу друг другу. Через сколько часов после начала движения они встретятся?
237.* Древнеримская задача (II в.) Некто, умирая, завещал: если у моей жены родится сын, то пусть ему будет дано 2/3 имения, а жене остальная часть. Если же родится дочь, то ей — 1/3, а жене — 2/3. Родилась двойня — сын и дочь. Как разделить имение?
Из условия задачи следует, что мать должна получить в 2 раза больше, чем дочь, а сын — в 2 раза больше, чем мать. Дочери достанется 1 часть, матери — 2, сыну — 4, то есть 1/7, 2/7 и 4/7 имения соответственно.
238.* Из Акмимского папируса (VI в.) Некто взял из сокровищницы 1/13. Из того, что осталось, другой взял 1/17. Оставил же в сокровищнице 150. Мы хотим узнать, сколько было в сокровищнице первоначально?
239.* Старинная задача (Индия, XI в.)
Есть кадамба цветок,
На один лепесток
Пчелок пятая часть опустилась.
Рядом тут же росла
Вся в цвету сименгда
И на ней третья часть поместилась.
Разность их ты найди,
Ее трижды сложи
И тех пчел на Кутай посади.
Лишь одна не нашла
Себе места нигде
Все летала то взад, то вперед и везде
Ароматом цветов наслаждалась.
Назови теперь мне,
Подсчитавши в уме,
Сколько пчелок всего здесь собралось.
Было бы неплохо, если бы учащиеся смогли подсчитать число пчелок устно, как этого требует условие задачи.
240.* Старинная задача (Армения, VII в.). Один купец прошел через три города, и взыскали с него в первом городе пошлины половину и треть имущества, во втором городе половину и треть [с того, что осталось], и в третьем городе снова взыскали половину и треть [с того, что у него было]; и когда он прибыл домой, у него осталось 11 дахеканов [денежных единиц]. Итак, узнай, сколько всего дахеканов было вначале у купца.
241.* Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Некто пришел в ряд, купил игрушек для малых ребят: за первую игрушку заплатил 1/5 часть всех своих денег, за другую 3/7 остатка от первой покупки, за третью игрушку заплатил 3/5 остатка от второй покупки, а по приезде в дом нашел остальных в кошельке денег 1 р. 92 к. Спрашивается, сколько в кошельке денег было и сколько за которую игрушку денег заплачено.
Начнем решение задачи с конца, постепенно заполняя рис. 9, на котором вся сумма изображена в виде прямоугольника. 192 к. — это 1 – 3/5= 2/5 второго остатка, который равен 192:2/5= 480 к. Эта сумма составляет 1 – 3/7 = 4/7 первого остатка, который равен 480: 4/7 = 840 к. Эта последняя сумма составляет 1 – 1/5 = 4/5 всей суммы, которая равна 840: 4/5 = 1050 к., или 10 р. 50 к.

242.* Старинная задача. Надгробная надпись на могиле Диофанта имеет следующее содержание: «Диофант провел шестую часть своей жизни в детстве, двенадцатую — в юности, после седьмой части, проведенной в бездетном супружестве и еще пяти лет, у него родился сын, умерший по достижении половины числа лет жизни отца, после чего Диофант прожил только 4 года». Сколько лет жил Диофант?
Задачу о возрасте Диофанта можно решить с помощью уравнения. Мы вовсе не исключаем такой возможности, но и арифметическое решение не представит большого труда, если заметить, что1/6 , 1/12 и 1/7 возраста Диофанта и еще 4 + 5 = 9 лет приходятся на половину его возраста, которую он прожил до рождения и после смерти своего сына. То есть 9 лет составляют 1/2 – ( 1/6 + 1/12 + 1/7 ) = 3/28 возраста Диофанта, который прожил 9: 3/28 = 84 года.
243.* Старинная задача. Смешано два сорта кофе: 101/2 пуда первого сорта по шести гривен за фунт и 21 пуд второго сорта по 12 р. за пуд. Что стоит фунт смеси?
244.* Задача Метродора. Корона весит 60 мин (греческая мера) и состоит их сплава золота, меди, олова и железа. Золото и медь составляют 2/3, золото и олово 3/4, золото и железо 3/5 общего веса. Определить вес каждого металла в отдельности.
Сначала определим, сколько мин приходится на каждую из упомянутых в условии задачи частей.
1) 60 •2/3 = 40 (мин) — масса золота и меди;
2) 60 •3/4 = 45 (мин) — масса золота и олова;
3) 60 •3/5 = 36 (мин) — масса золота и железа.
Сумма полученных результатов превышает массу короны на удвоенную массу золота.
4) (40 + 45 + 36 – 60):2 = 30,5 (мин) — масса золота;
5) 40 – 30,5 = 9,5 (мин) — масса меди;
6) 45 – 30,5 = 14,5 (мин) — масса олова;
7) 36 – 30,5 = 5,5 (мин) — масса железа.
Завершим § 2 примером, подтверждающим своеобразный закон сохранения занимательных задач: их недостаток в учебниках восполняется в газетах и журналах. Это измененная в первой строке задача С. Сатина (Крокодил, 1990, № 34).

3 ЗАДАЧИ «НА БАССЕЙНЫ» И ДРУГИЕ
Этот раздел начинается знакомыми задачами. Новое в их решении заключается в том, что теперь вместо рассуждений типа «Бассейн можно наполнить за 3 ч, значит, в каждый час наполняется 1/3 бассейна» или «В каждый час наполняется 1/2 бассейна, значит, бассейн можно наполнить за 2 ч» учащиеся будут писать действия: 1:3 = 1/3 и 1:1/2 = 2. При этом каждый раз предполагается и устно оговаривается, что объем бассейна (расстояние, выполненная работа и т. п.) принимается за единицу. Отметим, что без такого перехода к делению учащимся будет сложно решать задачи с дробными ответами (№№ 207, 211 и др.).
201. 1) Через первую трубу бассейн можно наполнить за 3 ч,
через вторую за 6 ч. Какую часть бассейна наполнит каждая труба за 1 ч?
2) За 1 ч первая труба наполняет 1/3 бассейна, а вторая — 1/6 бассейна. Какую часть бассейна наполняют обе трубы за 1 ч совместной работы? За сколько часов наполнится бассейн через обе трубы?
3) Через первую трубу можно наполнить бак за 10 мин, через вторую — за 15 мин. За сколько минут можно наполнить бак через обе трубы?
202. Старинная задача. Путешественник идет из одного города в другой 10 дней, а другой путешественник тот же путь проходит за 15 дней. Через сколько дней встретятся путешественники, если выйдут одновременно навстречу друг другу из этих городов?
Задачи 203 (а–в) составлены с таким расчетом, чтобы показать, что различные по фабуле задачи могут отражать одну и ту же арифметическую ситуацию, могут иметь один и тот же способ решения.
203. а) Через первую трубу бассейн можно наполнить за 20 ч, а через вторую — за 30 ч. За сколько часов наполнится бассейн через обе эти трубы?
б) Один ученик может убрать класс за 20 мин, а второй — за 30 мин. За сколько минут они могут убрать класс, работая вместе?
в) Грузовая машина может проехать расстояние между двумя городами за 30 ч, а легковая — за 20 ч. Машины одновременно выехали из этих городов навстречу друг другу. Через сколько часов они встретятся?
204. На птицеферму привезли корм, которого хватило бы уткам на 30 дней, а гусям — на 45 дней. Рассчитайте, на сколько дней хватит привезенного корма и уткам, и гусям вместе?
Завершая цепочку задач рассматриваемой серии, приводящих к сложению дробей, можно напомнить учащимся задачу 112 (б). Желательно обратить внимание учащихся на то, что эта задача уже была ими решена (№ 201 (3)). При этом объем бака не учитывался. Это означает, что задача 112 (б) содержит лишнее условие — объем бака. Учащимся нужно предоставить возможность убедиться в том, что от замены числа 600 на 300 или любое другое число ответ не меняется. Здесь, конечно, нужна оговорка: Мы предполагаем, что при уменьшении объем бака, например, в 2 раза скорость вытекания воды тоже уменьшается в 2 раза. Решения с различными числовыми данными нужно обсудить устно, записать одно из них с краткими пояснениями на доске и использовать его для сравнения с новым способом решения. Например:
1) 600:10 = 60 (л) — наполнится за 1 мин через I кран;
2) 600:15 = 40 (л) — наполнится за 1 мин через II кран;
3) 60 + 40 = 100 (л) — наполнится за 1 мин через оба крана;
4) 600:100 = 6 (мин) — наполнится бак через оба крана.
Разумеется, несколько случайных проб, в результате которых получен ответ «6 минут», еще не доказывают утверждения
«В этой задаче ответ не зависит от объема бака». Для его доказательства учитель может прибегнуть к помощи букв. После решения 2–3 задач с различными числовыми данными можно привести аналогичное решение с буквой. При этом буква выступает не как переменная (что далеко от опыта ребенка данного возраста), а как неизвестное число.
Пусть объем бака x л, тогда
1) x:10 = x/10 (л) — наполнится за 1 мин через I кран;
2) x:15 = x/15 (л) — наполнится за 1 мин через II кран;
3) x/10 + x/15 = x/6 (л) — наполнится за 1 мин через оба крана;
4) x: x/6 = 6 (мин) — наполнится бак через оба крана.
Здесь нужно подчеркнуть, что вместо числа x можно было взять число 300, 200 или любое другое число — в каждом случае в последнем действии дробь сократится на это число. Значит, ответ не зависит от выбора числа x.
205. а) Заготовленных материалов хватит для работы двух цехов в течение 10 дней, или одного первого цеха — в течение 15 дней. На сколько дней хватило бы этих материалов для работы одного второго цеха?
б) Два тракториста вспахали поле за 6 ч совместной работы. Первый тракторист мог бы один вспахать то же поле за 10 ч. За сколько часов второй тракторист мог бы вспахать это поле?
206. Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Один человек выпьет кадь пития в 14 дней, а с женою выпьет ту же кадь в 10 дней. Спрашивается, в сколько дней жена его отдельно выпьет ту же кадь.
Учащимся можно показать старинное решение задачи:
За 140 дней человек выпьет 10 бочонков, а вместе с женой за 140 дней они выпьют 14 бочонков. Значит, за 140 дней жена выпьет 4 – 10 = 4 бочонка. Один бочонок она выпьет за 140:4 = 35 дней.
Разумеется, для решения этой задачи было бы проще взять 70, а не 140 дней.
207.* Старинная задача. (Китай, II в.) Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?
Условие задачи 208 провоцирует «сбой» — решение по шаблону в ситуации, когда никакой совместной работы не происходит.
208.* Одна бригада может выполнить задание за 9 дней, а вторая — за 12 дней. Первая бригада работала над выполнением этого задания 3 дня, потом вторая бригада закончила работу. За сколько дней было выполнено задание?
Решение задачи можно оформить так:
1) 1:9 = 1/9 (задания) — выполнит I бригада за 1 день;
2) 1/9•3 = 1/3 (задания) — выполнила I бригада за 3 дня;
3) 1 – 1/3= 2/3 (задания) — выполнила II бригада;
4) 1:12 = 1/12 (задания) — выполнит II бригада за 1 день;
5) 2/3 : 1/12 = 8 (дней) — работала II бригада;
6) 3 + 8 = 11 (дней) — затрачено на выполнение задания.
Два первых действия можно заменить одним (3:9 = 1/3), определив, какую часть работы выполнит I бригада за 3 дня.
209.* Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Они встретились через 40 мин после выхода, а через 32 мин после встречи первый пришел в В. Через сколько часов после выхода из В второй пришел в А?
210.* Из пункта А в пункт В выехала грузовая машина. Одновременно с ней из пункта В в А выехала легковая машина. Грузовая машина через 2 ч после начала движения встретила легковую и еще через 3 ч прибыла в пункт В. Сколько времени потратила легковая машина на путь из В в А?
211.* Старинная задача. (Армения, VII в.). В городе Афинах был водоем, в который проведены три трубы. Одна из труб может наполнить водоем за 1 ч, другая, более тонкая, — за 2 ч, третья, еще более тонкая, — за 3 ч. Итак, узнай, в какую часть часа все три трубы вместе наполняют водоем.
Обратите внимание на то, что задачи 22 (а, б) полностью воспроизводят арифметическую ситуацию предыдущей задачи — те же числовые данные, но иной сюжет и вопрос.
212.* Старинные задачи. а) Лошадь съедает воз сена за месяц, коза — за два месяца, овца — за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?
б) Лев съел овцу за один час, волк съел овцу за два часа, а пес съел овцу за три часа. Спрашивается, как скоро они втроем съели бы овцу.
Заметим, что старинное решение задачи 212 (б), приведенное в математической рукописи, основано на предположении, что лев, волк и пес едят овец в течение 12 часов. [10, с. 45] Тот же прием использует автор рукописи для решения следующей задачи.
213.* Старинная задача. Четыре плотника хотят построить дом. Первый плотник может построить дом за 1 год, второй — за 2 года, третий — за 3 года, четвертый — за 4 года. Спрашивается, за сколько лет они построят дом при совместной работе.
В 12 лет каждый плотник в отдельности сумеет построить: первый 12 дворов, второй — 6 дворов, третий — 4, четвертый — 3. Таким образом, за 12 лет они могут построить 25 дворов. Следовательно, один двор все вместе они сумеют построить за 365•12/25 = 175 дней.
Приведенные способы решения задач стоит показать детям для того, чтобы подчеркнуть важную мысль: авторы решений применяли такие нереалистичные, хоть и остроумные, рассуждения, видимо, потому, что не умели действовать с дробями.
214.* Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Трое рабочих могут выполнить некоторую работу, при этом А может выполнить ее один раз за 3 недели, B три раза за 8 недель, C пять раз за 12 недель. Спрашивается, в какое время они смогут выполнить эту работу все вместе. (Считать в неделе 6 рабочих дней по 12 ч).
Более сложным продолжением рассматриваемой серии задач являются задачи на движение по реке.
215.* Катер проплывает некоторое расстояние по озеру за 6 ч, а по течению реки — за 5 ч. Сколько времени потребуется плоту на такое же расстояние?
Покажем решение первой задачи из этой серии. Примем все расстояние за 1, тогда за 1 ч катер проходит по течению 1/5, а по озеру 1/6 всего расстояния; по течению на 1/5 – 1/6 = 1/30 расстояния больше — это и есть часть расстояния, на которую в час течение сносит все предметы. Значит, то же расстояние плот проплывет за 30 ч. Без пояснений решение можно записать так:
1) 1:5 = ; 3) 1/5 – 1/6 = 1/30;
2) 1:6 =1/6; 4) 1: 1/30= 30.
Труднее всего здесь объяснить результат третьего действия. Объяснение можно упростить, введя букву.
Пусть х км — данное расстояние, тогда
1) x:5 = x/5 (км/ч) — скорость катера по течению;
2) x:6 = x/6 км/ч — скорость катера в стоячей воде;
3) x/5 – x/6 = x/30 (км/ч) — скорость течения;
4) x: x/30 = 30 (ч) — потребуется плоту на такое же расстояние.
216.* Расстояние между двумя пристанями по течению катер проходит за 8 ч, а плот — за 72 ч. Сколько времени потратит катер на такой же путь по озеру?
217.* Лодка проплыла некоторое расстояние по озеру за 4 ч. Такое же расстояние плот проплывает по реке за 12 ч. Сколько времени затратит лодка на тот же путь по течению реки? против течения?
218.* а) Моторная лодка проходит расстояние между двумя пунктами А и В по течению реки за 2 ч, а плот — за 8 ч. Какое время затратит моторная лодка на обратный путь?
б) Плот плывет от А до В 40 ч, а катер — 4 ч. Сколько часов катер плывет от В до А?
219.* а) Теплоход от Киева до Херсона идет трое суток, а от Херсона до Киева четверо суток (без остановок). Сколько времени будут плыть плоты от Киева до Херсона?
б) Из Нижнего Новгорода в Астрахань теплоход плывет 5 суток, а обратно 7 суток. За сколько суток из Нижнего Новгорода в Астрахань приплывут плоты?
в) Расстояние между двумя пунктами пароход проходит вниз по течению реки за 2 ч, а вверх по течению — за 3 ч. За сколько часов между теми же пунктами проплывет бревно?
Рассмотрим решение задачи 219 (а). Пароход в сутки проходит по течению реки 1:3 = 1/3 пути, а против течения 1:4 = 1/4 пути. Вычтем 1/4 из 1/3, получим 1/12, но это еще не «скорость течения» — полученный результат надо поделить на 2. Плоты за сутки проходят 1/24 пути, значит, весь путь пройдут за 1: 1/24 = 24 дня.
Эту задачу, как и большинство задач данной серии, можно решить, обозначая буквой все расстояние (работу и т. п.). Такой алгебраический прием не приводит к уравнению, но позволяет проще объяснить отдельные шаги решения.
Пусть x км — расстояние от Киева до Херсона, тогда скорость парохода по течению x/3 км/сут., против течения x/4 км/сут.
1) x/3 – x/4 = x/12 (км/сут.) — удвоенная скорость течения;
2) x/12:2 = x/24 (км/сут.) — скорость течения;
3) x: x/24= 24 (дня) — время движения плотов.
220.* 1) Первая и вторая бригады могли бы выполнить задание за 9 дней; вторая и третья бригады — за 18 дней; первая и третья бригады — за 12 дней. За сколько дней это задание могут выполнить три бригады, работая вместе?
2) В бассейн проведены три трубы. Через первые две трубы бассейн наполняется за 1 ч 10 мин; через первую и третью трубы он наполняется за 1 ч 24 мин; а через вторую и третью за 2 ч 20 мин. За сколько минут наполнится бассейн через все три трубы?
3) По условию задачи 220 (1) определите, за сколько дней третья бригада сможет выполнить то же задание, работая отдельно?
Приведем решение задачи 220 (1):
1) 1:9 = 1/9 (задания) — выполняют I и II бригады за 1 день;
2) 1:18 = 1/18 (задания) — выполняют II и III бригады за 1 день;
3) 1:12 = 1/12 (задания) — выполняют I и III бригады за 1 день;
4) (1/9 + 1/18 + 1/12):2 = 1/8 (задания) — выполняют три бригады за 1 день совместной работы;
5) 1: 1/8 = 8 (дней) — время выполнения задания тремя бригадами.
221.* 1) За 1 ч прогулочный катер может проплыть 10 км против течения или 15 км по течению реки. На какое наибольшее расстояние он может удалиться от пристани и вернуться обратно во время часовой прогулки?
2) Швейный цех выпускает за смену 300 джинсовых курток или 600 джинсовых брюк. Сколько джинсовых костюмов, состоящих из куртки и брюк, может выпустить швейный цех за смену?
Рассмотрим решение задачи 221 (1). На 1 км по течению и 1 км против течения катер тратит 1/10 + 1/15 = 1/6 ч. Тогда за 1 ч катер может удалиться от пристани на 1: 1/6 = 6 км и вернуться обратно.
Задачу 221 (2) можно решить двумя способами.
I способ. На одну куртку тратится 1/300, а на одни брюки 1/600 смены, т. е. на один костюм тратится 1/300 + 1/600 = 1/200 смены, поэтому за смену швейный цех выпустит 1: 1/200 = 200 костюмов.
II способ. По условию задачи, на одну куртку тратится вдвое больше времени, чем на одни брюки, следовательно, вместо 100 курток цех может пошить 200 брюк. Тогда за смену цех выпустит 300 курток или 200 курток и 200 брюк, то есть 200 костюмов.
Занимательная математика

« Математические задачи».
(5-9 классы )
Автор:
Сампилова Н.Ц., учитель математики


Пояснительная записка.
"Многому я научился у своих наставников,
еще большему – у своих товарищей,
но больше всего – у своих учеников".
Талмуд

Данный курс имеет общеобразовательный характер, играет большую роль в развитии логического мышления учащихся. Курс состоит из двенадцати тем. Темы занятий независимы друг от друга и могут изучаться в любом порядке. Изучаемый материал примыкает к основному курсу, дополняя его материалами занимательного характера при минимальном расширении теоретического материала. Сложность задач нарастает постепенно. Задачи каждой темы анализируются и для них указываются способы решения, которые иллюстрируются примерами. При этом в каждом разделе дается несколько задач, предназначенных для самостоятельного решения. В программу курса включается приложение «Психологическая минутка». Темы приложения не имеют непосредственного отношения к основному курсу и носят преимущественно характер математических развлечений направленных на развитие памяти, внимания, восприятия. Данный курс рассчитан на 34 часа. При желании или необходимости количество часов можно увеличить, дополнив изучаемый материал дополнительными задачами. Занятия лучше проводить последовательно 1 раз в неделю. Продолжительность одного занятия – не менее 40 минут. Желательно использовать красочные таблицы, схемы, раздаточный материал. В ходе изучения материала данного курса целесообразно сочетать такие формы организации учебной работы, как практикумы по решению задач, частично-поисковую деятельность. Развитию математического интереса способствуют математические игры (дидактическая, ролевая), викторины, головоломки. Необходимо использовать элементы исследовательской деятельности.
Цель: повышение уровня математической культуры учащихся.
Задачи:
? расширить рамки школьной программы;
? сформировать высокий уровень активности, раскованности мышления,
? развивать интерес к математике;
? способствовать развитию логического мышления, памяти.
Ожидаемый результат:
? развитие интереса к математике;
? углубление материала основного курса,
? расширение кругозора; развитие логического мышления.

Инструментарии для оценивания результатов:
? участие в олимпиадах;
? тестирование;
? творческие работы;
? участие в математических вечерах;
? участие в конкурсах и конференциях.


занятия Содержание учебного материала Кол-во
часов
1 Вводное занятие: «Математическая шкатулка» (как помогает в жизни умение решать логические задачи; математические игры). 1
2-3 «Переправа, переправа. Берег левый, берег правый» (логические задачи о переправах). 2
4-5 «Сообрази и посчитай» (задачи, требующие небольших логических рассуждений с последующим арифметическим просчетом). 2
6-7 «Волшебное зеркало мага» (обобщение известной задачи о колпаках). 2
8-9 «Где же правда?» (задачи о лгунах). 2
10-12 «Графы, множества» (решение задач с помощью таблиц и графиков). 3
13-14 «Упорядочим множество – решим задачу» (класс логических задач, в которых решение сводится к упорядочению некоторых множеств). 2
15-16 «Можно ли обыграть противника?» (игровые логические задачи). 2
17-18 «Определите победителя турнира» (турнирные задачи). 2
19-20 Числовые ребусы. 2
21-22 Составление кроссвордов. 2
23-24 Задачи на разрезание. 2
25-29 «Проценты на все случаи жизни» (решение задач на проценты). 5
30-33 Геометрические задачи. 4
34 Итоговое занятие. 1


ЛИТЕРАТУРА

1. А.П. Савин Занимательные математические задачи «АСТ» Москва, 1995

2. И.Н. Петрова Проценты на все случаи жизни. Челябинск, 1996

3. Л.М. Лихтарников Занимательные логические задачи. «МИК»
С.-Петербург, 1996

4. Л.М. Лихтарников Числовые ребусы, способы их решения. «МИК»
С.-Петербург,1996

5. М. Гарднер Математические чудеса и тайны. «Наука» Москва, 1986

6. М.Ю. Шуба Занимательные задания в обучении математике «Просв.» Москва, 1995

7. Рабочая тетрадь для 5 кл. «Геометрия. Анализ данных. Доли» «Просв.» Москва, 1994

8. http://www.math.ru/ – Сайт «Математика» для математиков, учителей математики и просто интересующихся. Особого внимания заслуживают библиотека (архивы специальных журналов и книг) и база данных методических материалов.
9. http://urokmatem.ru/ – «Учителю математики». Интересные и полезные материалы в помощь учителю математики.
10. http://www.it-n.ru/ – Сеть творческих учителей. Методическая помощь и поддержка, обмен опытом, повышение педагогического и методического мастерства в Сообществах учителей физики, математики, химии, географии, биологии и информатики.
11. http://cheba64.narod.ru/index.html – Сайт учителя математики Ф. М. Чеботаревой (тематическое и поурочное планирование изучения учебного материала, документы, внеклассная работа).
12. http://www.matmir.narod.ru/ – Сайт учителя математики Елены Евгеньевны Алексеевой (методобеспечение, программы, рекомендации и консультации).
13. http://olimpiada.ru – Олимпиады для школьников (физика, химия, математика).
14. http://www.desc.ru/show.html?id=614 – Интернет-карусель: on-line соревнование по математике, физике, географии.
15. http://olimpiada.ru/sectionpub.php?page=101 – Интернет-олимпиады и дистанционная подготовка.
16. http://rostest.runnet.ru/index.html – Образовательный сервер тестирования (математика, физика, биология, информатика, химия).
17. http://www.kokch.kts.ru/cdo/index.htm – On-line тестирование с 5 по 11 кл. по всем предметам.
18. http://zaba.ru/ – Математические олимпиады и олимпиадные задачи.
19. http://www.kenguru.sp.ru/ – Российская страница международного математического конкурса «Кенгуру».
20. http://ege.edu.ru – Официальный информационный портал ЕГЭ.
21. www.ege.ru – Сайт информационной поддержки ЕГЭ в компьютерной форме.
22. www.rustest.ru – ФГУ «Федеральный центр тестирования».
23. http://www.uztest.ru – ЕГЭ. Математика.
24. http://1september.ru/ – Издательский дом «1 сентября». Электронные версии газеты
«Математика»

 

Дидактический материал.

1. ЗАДАЧИ «НА ЧАСТИ»
Задачи 47–58 — это задачи «на части». В первых из них речь о частях идет в явном виде. При их решении создается основа для решения задач 54–58 на нахождение двух чисел по их отношению и сумме (разности). Учащиеся должны научиться принимать подходящую величину за 1 часть, определять, сколько таких частей приходится на другую величину, на их сумму (разность).
47. Для варенья на 2 части малины берут 3 части сахара.
1) Сколько килограммов сахара следует взять на 2 кг 600 г ягод?
2) Сколько килограммов малины было у мамы, если для варки варенья она приготовила 4 кг 500 г сахара?
48. При пайке изделий из жести применяют сплав, содержащий 2 части свинца и 5 частей олова.
1) Сколько граммов свинца и олова в отдельности содержится в 350 г сплава?
2) Сколько граммов свинца и олова в отдельности содержит кусок сплава, в котором олова на 360 г больше, чем свинца?
49. При помоле ржи на каждые три части муки получается одна часть отходов. Сколько центнеров ржи смололи, если муки получилось на 36 ц больше, чем отходов?
50. а) Купили 1800 г сухофруктов. Яблоки составляют 4 части, груши — 3 части и сливы — 2 части массы сухофруктов. Сколько граммов яблок, груш и слив в отдельности купили?
б) Яблоки составляют 7 частей, груши — 4 части, а сливы 5 частей массы сухофруктов. Сколько граммов яблок, груш и слив в отдельности содержится в 1600 г сухофруктов?
51.* Для компота взяли 6 частей яблок, 5 частей груш и 3 части слив. Оказалось, что груш и слив вместе взяли 2 кг 400 г. Определите массу взятых яблок; массу всех фруктов.
52.* 1) При изготовлении кофейного напитка «Ячменный» на 4 части ячменя берут 1 часть цикория. Сколько пачек напитка изготовлено, если каждая пачка весит 250 г, и на изготовление партии напитка израсходовано ячменя на 36 кг больше, чем цикория?
2) При изготовлении кофейного напитка «Наша марка» на 7 частей кофе берут 6 частей цикория, 5 частей желудей и 2 части каштанов. Сколько пачек напитка изготовлено, если каждая пачка весит 200 г, а кофе и цикория вместе израсходовали 26 кг?
53.о 1) Сплав содержит 1 часть свинца и 2 части олова. Во сколько раз в этом сплаве олова больше, чем свинца?
2) Сплав содержит олова в 3 раза больше, чем свинца. Сколько частей олова приходится на 1 часть свинца?
54. 1) Купили 60 тетрадей, причем тетрадей в клетку было в 2 раза больше, чем тетрадей в линейку. Сколько частей приходится на тетради в линейку; на тетради в клетку; на все тетради? Сколько купили тетрадей в линейку? Сколько в клетку (рис. 1)?
2) На первой полке стояло в 3 раза больше книг, чем на второй. На двух полках вместе стояло 120 книг. Сколько книг стояло на каждой полке?
в клетку
в линейку

Рис. 1
При решении задачи 54 (1) лучше опираться на схематический рисунок 1, легко воспроизводимый в тетради и дополняемый по ходу решения нужными записями.
Рассмотрим решение этой задачи «с пояснениями».
Пусть тетради в линейку составляют 1 часть, тогда тетради в клетку составляют 2 части.
1) 1 + 2 = 3 (части) — приходится на все тетради;
2) 60:3 = 20 (тетр.) — приходится на 1 часть;
3) 20?2 = 40 (тетр.) — приходится на 2 части (тетрадей в клетку).
С целью развития мышления и речи школьников советуем иногда давать им задание решить задачу «с вопросами». Для задачи 54 (2) такое решение имеет вид:
1) Сколько частей приходится на все книги?
1 + 3 = 4 (части)
2) Сколько книг приходится на 1 часть (стояло на II полке)?
120:4 = 30 (книг)
3) Сколько книг стояло на I полке?
30•3 = 90 (книг).
55. а) За рубашку и галстук папа заплатил 40 р. Рубашка дороже галстука в 4 раза. Сколько стоит галстук?
б) В плацкартном вагоне в 3 раза больше спальных мест, чем в мягком вагоне. Всего в плацкартном и мягком вагонах 72 спальных места. Сколько спальных мест в мягком вагоне?
56. 1) Календарь дороже общей тетради в 2 раза, а вместе они стоят 9 р. Сколько стоит календарь?
2) Мальчик и девочка рвали в лесу орехи. Всего они сорвали 120 штук. Девочка сорвала в два раза меньше мальчика. Сколько орехов было у мальчика и девочки в отдельности?
3) Девочка прочитала в 3 раза меньше страниц, чем ей осталось прочитать. Всего в книге 176 страниц. Сколько страниц прочитала девочка?
Задача 56 (2) взята из повести Н. Носова «Витя Малеев в школе и дома», дающей довольно точное описание характерных ошибок учащихся и самой процедуры поиска решения.
«Прочитал я задачу и даже смех разобрал. «Вот так задача! — думаю. — Чего тут не понимать? Ясно. 120 надо поделить на 2, получится 60. Значит, девочка сорвала 60 орехов. Теперь нужно узнать, сколько мальчик: 120 отнять 60, тоже будет 60. Только как же это так? Получается, что они сорвали поровну, а в задачнике сказано, что девочка сорвала в 2 раза меньше орехов. Ага! — думаю. — Значит, 60 надо поделить на 2, получится 30. Значит, мальчик сорвал 60, а девочка 30 орехов». Посмотрел в ответ; а там: мальчик 80, а девочка 40».
Витя смог решить задачу лишь тогда, когда нарисовал девочку в переднике с одним карманом, а мальчика в курточке с двумя карманами.
«Все 120 орехов теперь лежали у них в трех карманах: в двух карманах у мальчика и в одном кармане у девочки, а всего, значит, в трех. И вдруг у меня в голове, будто молния, блеснула мысль: «Все 120 орехов надо делить на три части!»
Надо сказать, что первое действие, к которому с таким трудом пришел Витя Малеев, вызывает большие трудности у учащихся, этот шаг решения задач «на части» требует специальной отработки, которая будет тем успешнее, чем активнее учащиеся опираются на наглядные образы.
57. а) Ученик купил тетрадей в клетку в 3 раза больше, чем тетрадeй в линейку. Причем их было на 18 больше, чем тетрадeй в линейку. Сколько всего тетрадей купил ученик?
б) На первой полке стояло в 4 раза больше книг, чем на второй. Это на 12 книг больше, чем на второй полке. Сколько книг стояло на каждой полке?
58. а) Девочка прочитала в 3 раза больше страниц, чем ей осталось прочитать. Она прочитала на 78 страниц больше, чем ей осталось прочитать. Сколько страниц прочитала девочка?
б) Книга дороже общей тетради в 3 раза или на 6 р. Сколько стоит книга?
59. Задача С.А. Рачинского. Я провел год в деревне, в Москве и в дороге — и притом в Москве в 8 раз более времени, чем в дороге, а в деревне в 8 раз более, чем в Москве. Сколько дней провел я в дороге, в Москве и в деревне?

2. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
В этот раздел включено небольшое число задач, в решении которых используются десятичные дроби. Мы предполагаем, что их решение позволит учащимся закрепить второй способ нахождения части числа и числа по его части (соответственно умножением и делением на дробь) и подготовиться к решению задач на проценты.
222. 1) Вася сказал, что у них в классе 35 учащихся и девочки составляют 2/3 всех учащихся. Папа заметил, что такого не может быть. Почему?
2) Известно, что 8/15 класса учатся на «4» и «5». Сколько учащихся может быть в классе?
3) Известно, что 3/5 класса девочки и 1/7 из них отличницы. Сколько учащихся в классе?
4) Известно, что 1/8 класса отличники, а 3/5 класса — девочки. Сколько учащихся в классе?
223. Старинная задача. Мастер сплавил 3 куска серебра в 1/4 фунта, в 1/6 фунта и в 1/8 фунта, сделал из него ложки и продал их. Сколько получил он денег, если фунт серебра ценил в 24 р., да за работу взял 8 р.?
224. 1) Ставка учителя математики составляет 18 уроков в неделю. Какую часть ставки имеет учитель, ведущий: 18 уроков? 24 урока? 27 уроков в неделю?
2) У преподавателя музыки обучаются игре на фортепиано четверо старших и семеро младших школьников. Какую часть ставки имеет преподаватель музыки, если на ставку у него должно быть 9 старших или 12 младших школьников?
225. 1) Книга и тетради стоят 12 р. Стоимость тетрадей составила 0,4 стоимости всей покупки. Сколько стоят тетради?
2) Конфеты и печенье стоят 70 р. Стоимость конфет составила 0,3 стоимости всей покупки. Сколько стоят конфеты?
226. 1) Папе 40 лет. Возраст сына составляет 0,3 возраста отца. Сколько лет сыну?
2) Бабушке 60 лет. Возраст мамы составляет 0,6 возраста бабушки. На сколько лет бабушка старше мамы?
227. 1) В книге 300 страниц. Прочитали 0,6 всей книги. Сколько страниц осталось прочитать?
2) В коллекции было 200 марок. За год их число увеличилось на 0,2 первоначального числа. Сколько марок стало в коллекции?
228. 1) Бригада заасфальтировала 10 км шоссе, что составило 0,2 всего расстояния между двумя городами. Определите это расстояние.
2) Туристы прошли пешком 8 км, что составило 0,4 длины всего маршрута. Какова длина маршрута?
229. а) Найдите 0,6 числа 240.
б) Найдите 0,7 числа 280.
230. а) Найдите число, 0,6 которого равны 240.
б) Найдите число, 0,7 которого равны 280.
231. 1) В магазин привезли 600 роз и гвоздик. Число роз составило 0,4 числа всех цветков. Сколько гвоздик привезли в магазин?
2) Потратили 0,2 от 540 р. Сколько рублей осталось?
3) Потратили 0,3 имевшейся суммы денег, осталось 210 р. Сколько денег было первоначально?
232. 1) В коллекции было 240 значков. За год их число увеличилось на 0,3 первоначального числа. Сколько теперь значков в коллекции?
2) В банк положили 400 р. За год вклад увеличится на 0,3 этой суммы. Какой станет сумма вклада через год?
3) Увеличьте число 810 на 0,5 этого числа.
233. 1) За 1/4 и 1/5 м ленты заплатили 18 р. Сколько стоит 1 м ленты?
2) За 1/2 м тесьмы заплатили на 6 р. больше, чем за 1/5 м такой же тесьмы. Сколько стоит 1 м тесьмы?
3) Старинная задача. За 11 копеек куплены одна пятириковая (в 1/5 фунта) и одна шестириковая (в 1/6 фунта) стеариновые
свечи. Сколько стоит фунт стеариновых свечей?
234.* У Саши на дне рождения было 5 друзей. Первому он отрезал 1/6 часть пирога, второму 1/5 остатка, третьему 1/4 того, что осталось, четвертому 1/3 нового остатка. Последний кусок Саша разделил пополам с пятым другом. Кому достался самый большой кусок?
Заметим, что при решении задачи 234 школьники чаще всего начинают с обозначения всего пирога через х (или через 1) и пускаются в долгие вычисления. Если ваши учащиеся поступят так же, не надо мешать им в полезном упражнении, результат которого легко проверить с помощью рис. 7. Пусть пирог разделен на 6 равных частей. Первому дали 1/6 пирога — 1 кусок, осталось 5 кусков; второму дали 1/5 от этих 5 кусков, то есть такой же кусок и т. д. В результате все получили поровну. Здесь надо подчеркнуть, что поиску решения задачи часто помогает схематический рисунок.
235.* 1) В нашем классе есть певцы и танцоры. Известно, что 1/5 всех певцов еще и танцует, а 1/4 танцоров еще и поет. Кого у нас в классе больше: певцов или танцоров?
2) В делегации иностранных гостей 1/6 говорящих по-английски говорит и по-немецки, а 1/5 говорящих и по-немецки говорит и по-английски. Кого в делегации больше: говорящих по-немецки, или говорящих по-английски?
3) В делегации иностранных гостей 1/8 англичан знала немецкий язык, а 1/7 немцев знала английский язык. Кого в делегации больше: немцев или англичан? Можно ли ответить на этот вопрос?
Решению задачи 235 (1) существенно поможет рис. 8, а вот с задачей 235 (3) труднее. Здесь 1/8 англичан и 1/7 немцев — это не одна и та же группа людей. Поэтому ответить на поставленный вопрос нельзя. Условию задачи могут удовлетворять различные количества англичан и немцев.

236. Легковая машина может проехать расстояние между двумя городами за 31/3 ч, а грузовая — за 5 ч. Машины выехали из этих городов одновременно навстречу друг другу. Через сколько часов после начала движения они встретятся?
237.* Древнеримская задача (II в.) Некто, умирая, завещал: если у моей жены родится сын, то пусть ему будет дано 2/3 имения, а жене остальная часть. Если же родится дочь, то ей — 1/3, а жене — 2/3. Родилась двойня — сын и дочь. Как разделить имение?
Из условия задачи следует, что мать должна получить в 2 раза больше, чем дочь, а сын — в 2 раза больше, чем мать. Дочери достанется 1 часть, матери — 2, сыну — 4, то есть 1/7, 2/7 и 4/7 имения соответственно.
238.* Из Акмимского папируса (VI в.) Некто взял из сокровищницы 1/13. Из того, что осталось, другой взял 1/17. Оставил же в сокровищнице 150. Мы хотим узнать, сколько было в сокровищнице первоначально?
239.* Старинная задача (Индия, XI в.)
Есть кадамба цветок,
На один лепесток
Пчелок пятая часть опустилась.
Рядом тут же росла
Вся в цвету сименгда
И на ней третья часть поместилась.
Разность их ты найди,
Ее трижды сложи
И тех пчел на Кутай посади.
Лишь одна не нашла
Себе места нигде
Все летала то взад, то вперед и везде
Ароматом цветов наслаждалась.
Назови теперь мне,
Подсчитавши в уме,
Сколько пчелок всего здесь собралось.
Было бы неплохо, если бы учащиеся смогли подсчитать число пчелок устно, как этого требует условие задачи.
240.* Старинная задача (Армения, VII в.). Один купец прошел через три города, и взыскали с него в первом городе пошлины половину и треть имущества, во втором городе половину и треть [с того, что осталось], и в третьем городе снова взыскали половину и треть [с того, что у него было]; и когда он прибыл домой, у него осталось 11 дахеканов [денежных единиц]. Итак, узнай, сколько всего дахеканов было вначале у купца.
241.* Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Некто пришел в ряд, купил игрушек для малых ребят: за первую игрушку заплатил 1/5 часть всех своих денег, за другую 3/7 остатка от первой покупки, за третью игрушку заплатил 3/5 остатка от второй покупки, а по приезде в дом нашел остальных в кошельке денег 1 р. 92 к. Спрашивается, сколько в кошельке денег было и сколько за которую игрушку денег заплачено.
Начнем решение задачи с конца, постепенно заполняя рис. 9, на котором вся сумма изображена в виде прямоугольника. 192 к. — это 1 – 3/5= 2/5 второго остатка, который равен 192:2/5= 480 к. Эта сумма составляет 1 – 3/7 = 4/7 первого остатка, который равен 480: 4/7 = 840 к. Эта последняя сумма составляет 1 – 1/5 = 4/5 всей суммы, которая равна 840: 4/5 = 1050 к., или 10 р. 50 к.

242.* Старинная задача. Надгробная надпись на могиле Диофанта имеет следующее содержание: «Диофант провел шестую часть своей жизни в детстве, двенадцатую — в юности, после седьмой части, проведенной в бездетном супружестве и еще пяти лет, у него родился сын, умерший по достижении половины числа лет жизни отца, после чего Диофант прожил только 4 года». Сколько лет жил Диофант?
Задачу о возрасте Диофанта можно решить с помощью уравнения. Мы вовсе не исключаем такой возможности, но и арифметическое решение не представит большого труда, если заметить, что1/6 , 1/12 и 1/7 возраста Диофанта и еще 4 + 5 = 9 лет приходятся на половину его возраста, которую он прожил до рождения и после смерти своего сына. То есть 9 лет составляют 1/2 – ( 1/6 + 1/12 + 1/7 ) = 3/28 возраста Диофанта, который прожил 9: 3/28 = 84 года.
243.* Старинная задача. Смешано два сорта кофе: 101/2 пуда первого сорта по шести гривен за фунт и 21 пуд второго сорта по 12 р. за пуд. Что стоит фунт смеси?
244.* Задача Метродора. Корона весит 60 мин (греческая мера) и состоит их сплава золота, меди, олова и железа. Золото и медь составляют 2/3, золото и олово 3/4, золото и железо 3/5 общего веса. Определить вес каждого металла в отдельности.
Сначала определим, сколько мин приходится на каждую из упомянутых в условии задачи частей.
1) 60 •2/3 = 40 (мин) — масса золота и меди;
2) 60 •3/4 = 45 (мин) — масса золота и олова;
3) 60 •3/5 = 36 (мин) — масса золота и железа.
Сумма полученных результатов превышает массу короны на удвоенную массу золота.
4) (40 + 45 + 36 – 60):2 = 30,5 (мин) — масса золота;
5) 40 – 30,5 = 9,5 (мин) — масса меди;
6) 45 – 30,5 = 14,5 (мин) — масса олова;
7) 36 – 30,5 = 5,5 (мин) — масса железа.
Завершим § 2 примером, подтверждающим своеобразный закон сохранения занимательных задач: их недостаток в учебниках восполняется в газетах и журналах. Это измененная в первой строке задача С. Сатина (Крокодил, 1990, № 34).

3 ЗАДАЧИ «НА БАССЕЙНЫ» И ДРУГИЕ
Этот раздел начинается знакомыми задачами. Новое в их решении заключается в том, что теперь вместо рассуждений типа «Бассейн можно наполнить за 3 ч, значит, в каждый час наполняется 1/3 бассейна» или «В каждый час наполняется 1/2 бассейна, значит, бассейн можно наполнить за 2 ч» учащиеся будут писать действия: 1:3 = 1/3 и 1:1/2 = 2. При этом каждый раз предполагается и устно оговаривается, что объем бассейна (расстояние, выполненная работа и т. п.) принимается за единицу. Отметим, что без такого перехода к делению учащимся будет сложно решать задачи с дробными ответами (№№ 207, 211 и др.).
201. 1) Через первую трубу бассейн можно наполнить за 3 ч,
через вторую за 6 ч. Какую часть бассейна наполнит каждая труба за 1 ч?
2) За 1 ч первая труба наполняет 1/3 бассейна, а вторая — 1/6 бассейна. Какую часть бассейна наполняют обе трубы за 1 ч совместной работы? За сколько часов наполнится бассейн через обе трубы?
3) Через первую трубу можно наполнить бак за 10 мин, через вторую — за 15 мин. За сколько минут можно наполнить бак через обе трубы?
202. Старинная задача. Путешественник идет из одного города в другой 10 дней, а другой путешественник тот же путь проходит за 15 дней. Через сколько дней встретятся путешественники, если выйдут одновременно навстречу друг другу из этих городов?
Задачи 203 (а–в) составлены с таким расчетом, чтобы показать, что различные по фабуле задачи могут отражать одну и ту же арифметическую ситуацию, могут иметь один и тот же способ решения.
203. а) Через первую трубу бассейн можно наполнить за 20 ч, а через вторую — за 30 ч. За сколько часов наполнится бассейн через обе эти трубы?
б) Один ученик может убрать класс за 20 мин, а второй — за 30 мин. За сколько минут они могут убрать класс, работая вместе?
в) Грузовая машина может проехать расстояние между двумя городами за 30 ч, а легковая — за 20 ч. Машины одновременно выехали из этих городов навстречу друг другу. Через сколько часов они встретятся?
204. На птицеферму привезли корм, которого хватило бы уткам на 30 дней, а гусям — на 45 дней. Рассчитайте, на сколько дней хватит привезенного корма и уткам, и гусям вместе?
Завершая цепочку задач рассматриваемой серии, приводящих к сложению дробей, можно напомнить учащимся задачу 112 (б). Желательно обратить внимание учащихся на то, что эта задача уже была ими решена (№ 201 (3)). При этом объем бака не учитывался. Это означает, что задача 112 (б) содержит лишнее условие — объем бака. Учащимся нужно предоставить возможность убедиться в том, что от замены числа 600 на 300 или любое другое число ответ не меняется. Здесь, конечно, нужна оговорка: Мы предполагаем, что при уменьшении объем бака, например, в 2 раза скорость вытекания воды тоже уменьшается в 2 раза. Решения с различными числовыми данными нужно обсудить устно, записать одно из них с краткими пояснениями на доске и использовать его для сравнения с новым способом решения. Например:
1) 600:10 = 60 (л) — наполнится за 1 мин через I кран;
2) 600:15 = 40 (л) — наполнится за 1 мин через II кран;
3) 60 + 40 = 100 (л) — наполнится за 1 мин через оба крана;
4) 600:100 = 6 (мин) — наполнится бак через оба крана.
Разумеется, несколько случайных проб, в результате которых получен ответ «6 минут», еще не доказывают утверждения
«В этой задаче ответ не зависит от объема бака». Для его доказательства учитель может прибегнуть к помощи букв. После решения 2–3 задач с различными числовыми данными можно привести аналогичное решение с буквой. При этом буква выступает не как переменная (что далеко от опыта ребенка данного возраста), а как неизвестное число.
Пусть объем бака x л, тогда
1) x:10 = x/10 (л) — наполнится за 1 мин через I кран;
2) x:15 = x/15 (л) — наполнится за 1 мин через II кран;
3) x/10 + x/15 = x/6 (л) — наполнится за 1 мин через оба крана;
4) x: x/6 = 6 (мин) — наполнится бак через оба крана.
Здесь нужно подчеркнуть, что вместо числа x можно было взять число 300, 200 или любое другое число — в каждом случае в последнем действии дробь сократится на это число. Значит, ответ не зависит от выбора числа x.
205. а) Заготовленных материалов хватит для работы двух цехов в течение 10 дней, или одного первого цеха — в течение 15 дней. На сколько дней хватило бы этих материалов для работы одного второго цеха?
б) Два тракториста вспахали поле за 6 ч совместной работы. Первый тракторист мог бы один вспахать то же поле за 10 ч. За сколько часов второй тракторист мог бы вспахать это поле?
206. Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Один человек выпьет кадь пития в 14 дней, а с женою выпьет ту же кадь в 10 дней. Спрашивается, в сколько дней жена его отдельно выпьет ту же кадь.
Учащимся можно показать старинное решение задачи:
За 140 дней человек выпьет 10 бочонков, а вместе с женой за 140 дней они выпьют 14 бочонков. Значит, за 140 дней жена выпьет 4 – 10 = 4 бочонка. Один бочонок она выпьет за 140:4 = 35 дней.
Разумеется, для решения этой задачи было бы проще взять 70, а не 140 дней.
207.* Старинная задача. (Китай, II в.) Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?
Условие задачи 208 провоцирует «сбой» — решение по шаблону в ситуации, когда никакой совместной работы не происходит.
208.* Одна бригада может выполнить задание за 9 дней, а вторая — за 12 дней. Первая бригада работала над выполнением этого задания 3 дня, потом вторая бригада закончила работу. За сколько дней было выполнено задание?
Решение задачи можно оформить так:
1) 1:9 = 1/9 (задания) — выполнит I бригада за 1 день;
2) 1/9•3 = 1/3 (задания) — выполнила I бригада за 3 дня;
3) 1 – 1/3= 2/3 (задания) — выполнила II бригада;
4) 1:12 = 1/12 (задания) — выполнит II бригада за 1 день;
5) 2/3 : 1/12 = 8 (дней) — работала II бригада;
6) 3 + 8 = 11 (дней) — затрачено на выполнение задания.
Два первых действия можно заменить одним (3:9 = 1/3), определив, какую часть работы выполнит I бригада за 3 дня.
209.* Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Они встретились через 40 мин после выхода, а через 32 мин после встречи первый пришел в В. Через сколько часов после выхода из В второй пришел в А?
210.* Из пункта А в пункт В выехала грузовая машина. Одновременно с ней из пункта В в А выехала легковая машина. Грузовая машина через 2 ч после начала движения встретила легковую и еще через 3 ч прибыла в пункт В. Сколько времени потратила легковая машина на путь из В в А?
211.* Старинная задача. (Армения, VII в.). В городе Афинах был водоем, в который проведены три трубы. Одна из труб может наполнить водоем за 1 ч, другая, более тонкая, — за 2 ч, третья, еще более тонкая, — за 3 ч. Итак, узнай, в какую часть часа все три трубы вместе наполняют водоем.
Обратите внимание на то, что задачи 22 (а, б) полностью воспроизводят арифметическую ситуацию предыдущей задачи — те же числовые данные, но иной сюжет и вопрос.
212.* Старинные задачи. а) Лошадь съедает воз сена за месяц, коза — за два месяца, овца — за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?
б) Лев съел овцу за один час, волк съел овцу за два часа, а пес съел овцу за три часа. Спрашивается, как скоро они втроем съели бы овцу.
Заметим, что старинное решение задачи 212 (б), приведенное в математической рукописи, основано на предположении, что лев, волк и пес едят овец в течение 12 часов. [10, с. 45] Тот же прием использует автор рукописи для решения следующей задачи.
213.* Старинная задача. Четыре плотника хотят построить дом. Первый плотник может построить дом за 1 год, второй — за 2 года, третий — за 3 года, четвертый — за 4 года. Спрашивается, за сколько лет они построят дом при совместной работе.
В 12 лет каждый плотник в отдельности сумеет построить: первый 12 дворов, второй — 6 дворов, третий — 4, четвертый — 3. Таким образом, за 12 лет они могут построить 25 дворов. Следовательно, один двор все вместе они сумеют построить за 365•12/25 = 175 дней.
Приведенные способы решения задач стоит показать детям для того, чтобы подчеркнуть важную мысль: авторы решений применяли такие нереалистичные, хоть и остроумные, рассуждения, видимо, потому, что не умели действовать с дробями.
214.* Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Трое рабочих могут выполнить некоторую работу, при этом А может выполнить ее один раз за 3 недели, B три раза за 8 недель, C пять раз за 12 недель. Спрашивается, в какое время они смогут выполнить эту работу все вместе. (Считать в неделе 6 рабочих дней по 12 ч).
Более сложным продолжением рассматриваемой серии задач являются задачи на движение по реке.
215.* Катер проплывает некоторое расстояние по озеру за 6 ч, а по течению реки — за 5 ч. Сколько времени потребуется плоту на такое же расстояние?
Покажем решение первой задачи из этой серии. Примем все расстояние за 1, тогда за 1 ч катер проходит по течению 1/5, а по озеру 1/6 всего расстояния; по течению на 1/5 – 1/6 = 1/30 расстояния больше — это и есть часть расстояния, на которую в час течение сносит все предметы. Значит, то же расстояние плот проплывет за 30 ч. Без пояснений решение можно записать так:
1) 1:5 = ; 3) 1/5 – 1/6 = 1/30;
2) 1:6 =1/6; 4) 1: 1/30= 30.
Труднее всего здесь объяснить результат третьего действия. Объяснение можно упростить, введя букву.
Пусть х км — данное расстояние, тогда
1) x:5 = x/5 (км/ч) — скорость катера по течению;
2) x:6 = x/6 км/ч — скорость катера в стоячей воде;
3) x/5 – x/6 = x/30 (км/ч) — скорость течения;
4) x: x/30 = 30 (ч) — потребуется плоту на такое же расстояние.
216.* Расстояние между двумя пристанями по течению катер проходит за 8 ч, а плот — за 72 ч. Сколько времени потратит катер на такой же путь по озеру?
217.* Лодка проплыла некоторое расстояние по озеру за 4 ч. Такое же расстояние плот проплывает по реке за 12 ч. Сколько времени затратит лодка на тот же путь по течению реки? против течения?
218.* а) Моторная лодка проходит расстояние между двумя пунктами А и В по течению реки за 2 ч, а плот — за 8 ч. Какое время затратит моторная лодка на обратный путь?
б) Плот плывет от А до В 40 ч, а катер — 4 ч. Сколько часов катер плывет от В до А?
219.* а) Теплоход от Киева до Херсона идет трое суток, а от Херсона до Киева четверо суток (без остановок). Сколько времени будут плыть плоты от Киева до Херсона?
б) Из Нижнего Новгорода в Астрахань теплоход плывет 5 суток, а обратно 7 суток. За сколько суток из Нижнего Новгорода в Астрахань приплывут плоты?
в) Расстояние между двумя пунктами пароход проходит вниз по течению реки за 2 ч, а вверх по течению — за 3 ч. За сколько часов между теми же пунктами проплывет бревно?
Рассмотрим решение задачи 219 (а). Пароход в сутки проходит по течению реки 1:3 = 1/3 пути, а против течения 1:4 = 1/4 пути. Вычтем 1/4 из 1/3, получим 1/12, но это еще не «скорость течения» — полученный результат надо поделить на 2. Плоты за сутки проходят 1/24 пути, значит, весь путь пройдут за 1: 1/24 = 24 дня.
Эту задачу, как и большинство задач данной серии, можно решить, обозначая буквой все расстояние (работу и т. п.). Такой алгебраический прием не приводит к уравнению, но позволяет проще объяснить отдельные шаги решения.
Пусть x км — расстояние от Киева до Херсона, тогда скорость парохода по течению x/3 км/сут., против течения x/4 км/сут.
1) x/3 – x/4 = x/12 (км/сут.) — удвоенная скорость течения;
2) x/12:2 = x/24 (км/сут.) — скорость течения;
3) x: x/24= 24 (дня) — время движения плотов.
220.* 1) Первая и вторая бригады могли бы выполнить задание за 9 дней; вторая и третья бригады — за 18 дней; первая и третья бригады — за 12 дней. За сколько дней это задание могут выполнить три бригады, работая вместе?
2) В бассейн проведены три трубы. Через первые две трубы бассейн наполняется за 1 ч 10 мин; через первую и третью трубы он наполняется за 1 ч 24 мин; а через вторую и третью за 2 ч 20 мин. За сколько минут наполнится бассейн через все три трубы?
3) По условию задачи 220 (1) определите, за сколько дней третья бригада сможет выполнить то же задание, работая отдельно?
Приведем решение задачи 220 (1):
1) 1:9 = 1/9 (задания) — выполняют I и II бригады за 1 день;
2) 1:18 = 1/18 (задания) — выполняют II и III бригады за 1 день;
3) 1:12 = 1/12 (задания) — выполняют I и III бригады за 1 день;
4) (1/9 + 1/18 + 1/12):2 = 1/8 (задания) — выполняют три бригады за 1 день совместной работы;
5) 1: 1/8 = 8 (дней) — время выполнения задания тремя бригадами.
221.* 1) За 1 ч прогулочный катер может проплыть 10 км против течения или 15 км по течению реки. На какое наибольшее расстояние он может удалиться от пристани и вернуться обратно во время часовой прогулки?
2) Швейный цех выпускает за смену 300 джинсовых курток или 600 джинсовых брюк. Сколько джинсовых костюмов, состоящих из куртки и брюк, может выпустить швейный цех за смену?
Рассмотрим решение задачи 221 (1). На 1 км по течению и 1 км против течения катер тратит 1/10 + 1/15 = 1/6 ч. Тогда за 1 ч катер может удалиться от пристани на 1: 1/6 = 6 км и вернуться обратно.
Задачу 221 (2) можно решить двумя способами.
I способ. На одну куртку тратится 1/300, а на одни брюки 1/600 смены, т. е. на один костюм тратится 1/300 + 1/600 = 1/200 смены, поэтому за смену швейный цех выпустит 1: 1/200 = 200 костюмов.
II способ. По условию задачи, на одну куртку тратится вдвое больше времени, чем на одни брюки, следовательно, вместо 100 курток цех может пошить 200 брюк. Тогда за смену цех выпустит 300 курток или 200 курток и 200 брюк, то есть 200 костюмов.
Занимательная математика

knot-empty-inv2.png